Poate fi creat cu adevărat ceva din nimic? Aceasta este promisiunea stranie – și teribil de contraintuitivă – a unui rezultat matematic cunoscut sub numele de paradoxul Banach-Tarski.
Potrivit acestuia, ar fi posibil să decupezi o sferă într-un număr finit de bucăți, apoi să reasamblezi aceste bucăți pentru a obține… două sfere identice, de aceeași dimensiune și volum cu originalul. Altfel spus, 1 ar deveni 2. Absurd? Desigur. Legitim? Într -un anumit sens, da.
Istoria acestui paradox a generat chiar și o mică panică. În 1989, un matematician a publicat în revista Scientific American o cronică explicând cum, grație acestui rezultat, s-ar putea fabrica aur dintr-o simplă bilă.
Consiliul Internațional al Aurului s-a arătat oficial îngrijorat, temându-se de un colaps al sistemului monetar mondial. Gluma era una subtilă: „inventatorul” din spatele descoperirii se numea Arlo Lipof, o anagramă pentru „april fool” (păcăleala de aprilie).
Dar dincolo de farsă, se află un adevărat rezultat matematic, o teoremă demonstrată în 1924 de doi matematicieni polonezi, Stefan Banach și Alfred Tarski. Iar aceasta spune ceva fascinant: matematica nu funcționează întotdeauna conform intuiției noastre fizice.
Pentru a înțelege cum e posibil ca infinitul să ne zăpăcească logica, trebuie să pătrundem în universul mulțimilor infinite. Să luăm numerele întregi: 1, 2, 3, 4… Există o infinitate dintre ele. Acum, să luăm pătratele perfecte: 1, 4, 9, 16… Și acestea sunt tot o infinitate.
La prima vedere, pare evident că există „mai puține” pătrate perfecte decât numere întregi, deoarece multe numere întregi nu sunt pătrate perfecte. Galileo observase deja acest paradox: în realitate, putem asocia fiecare număr întreg cu pătratul său, creând o corespondență perfectă.
Aceasta demonstrează că ambele mulțimi au aceeași „dimensiune” matematică, numită un infinit numărabil. Există însă și un alt tip de infinit: infinitul nenumărabil, cum ar fi cel al numerelor reale (de exemplu, toate zecimalele posibile între 0 și 1).
Acolo, este imposibil să le „numărăm”, deoarece putem găsi mereu un număr nou între oricare două, oricât de apropiate ar fi ele. Acest tip de infinit este considerabil mai mare și este exact cel care joacă un rol crucial în paradoxul Banach-Tarski.
Imaginați-vă o portocală perfectă, reprezentată matematic ca o sferă compusă dintr-un număr infinit de puncte. Banach și Tarski au demonstrat că, utilizând anumite rotații inteligent alese, se pot separa punctele acestei sfere într-un număr mic de grupuri foarte specifice.
Aceste grupuri nu seamănă deloc cu bucăți obișnuite; nu sunt sferturi de portocală pe care le-am putea ține în mână, ci mai degrabă mulțimi infinite de puncte, imposibil de vizualizat.
Și totuși, odată „tăiate” în acest fel, aceste mulțimi pot fi reasamblate pentru a forma… două portocale identice cu cea originală. Aici se naște iluzia: avem impresia că am creat materie din nimic, dar în realitate, totul se bazează pe modul în care matematica abordează infinitul.
Fără îndoială, nimeni nu va reuși vreodată să-și dubleze averea prin decuparea unei monede de aur. Paradoxul Banach-Tarski nu se aplică lumii fizice. În primul rând, pentru că presupune că materia este compusă din puncte infinit de mici și divizibile la infinit – ceea ce nu este cazul.
Atomii noștri, de exemplu, nu se lasă fragmentați la nesfârșit. În al doilea rând, demonstrația se bazează pe un instrument matematic numit axioma alegerii. Această axiomă este larg acceptată, deoarece permite demonstrarea multor rezultate utile, dar este, în același timp… indemonstrabilă.
Mai exact: alegem să credem în ea, un pic ca un postulat. Fără ea, paradoxul nu ar mai fi valid. Acest paradox, așadar, nu pune sub semnul întrebării legile fizicii, ci mai degrabă scoate în evidență cât de mult ne pot destabiliza uneori matematicile.
În universul lor abstract, ele urmează o logică impecabilă, dar care nu corespunde întotdeauna experienței noastre din lumea reală.
Aceasta este, de altfel, și ceea ce le face atât de fascinante: ne obligă să ne chestionăm intuițiile, să acceptăm că 1 poate, în anumite condiții, să dea 2. Așadar, nu, nimeni nu va crea aur sau portocale multiplicând sferele.
Însă paradoxul Banach-Tarski ne reamintește o adevăr esențială: infinitul nu se supune regulilor noastre. Și atunci când matematicile îl abordează, realitatea poate părea foarte restrânsă.
