Un matematician rus a rezolvat o ecuație de 1 milion de dolari. În ciuda beneficiului pe care îl putea avea, acesta a refuzat premiul, considerând mai mult o întrecere personală.

Matematicianul rus Grigori Perelman a reușit să rezolve conjectura Poincaré. Aceasta a fost formulată în 1904 de matematicianul francez Poincaré, a rămas una dintre cele mai provocatoare întrebări deschise din secolul al XX-lea, până când a fost dovedită în 2002 de Grigori Perelman.

Ce este Conjectura Poincaré

A fost considerată de Institutul de Matematică Clay drept una dintre cele șapte probleme ale Premiului Mileniului care, dacă ar fi rezolvată vreodată, ar acorda un premiu de un milion de dolari. Lui Grigori Perelman i s-a atribuit o medalie Fields pentru „contribuțiile sale la geometrie și cunoștințele sale revoluționare” care au condus la dovada sa remarcabilă.

A refuzat atât premiul, cât și medalia. Istoria conjecturii și a căii matematice care a condus la demonstrarea lui Perelman este, pe lângă faptul că este legată, cel puțin la fel de interesantă ca personalitatea particulară a lui Perelman și concepția particulară a modului în care ar trebui concepută și studiată matematica.

Topologia este studiul matematic al formelor și al spațiilor și dorința de a le defini cu precizie. Donald O’Sea, un profesor american de matematică, a încercat să explice topologia în acești termeni:

„Știm ce înseamnă să fii îndrăgostit sau să simți durere și nu avem nevoie de definiții precise pentru a comunica. Totuși, obiectele matematicii se află în afara experienței comune. Dacă nu definești aceste obiecte cu atenție, nu le poți manipula în mod semnificativ sau nu poți vorbi cu ceilalți despre ele”.

Ideea principală din spatele acestui domeniu major al matematicii este că atunci când studiem un obiect, proprietățile sale sunt cele care sunt importante, nu obiectul în sine și dacă mai multe obiecte au aceleași proprietăți, ele ar trebui studiate împreună, iar rezultatele s-ar scala la toate obiectele care împărtășesc aceste proprietăți, aceste obiecte sunt astfel homeomorfe între ele.

Prima urmă de topologie în matematică datează de la demonstrația lui Euler că nicio rută nu ar putea traversa cele șapte poduri din Königsberg în același timp. Hârtia Euler nu a fost importantă doar aplicată orașului Königsberg, ci pentru că se aplica și oricărei configurații care îi era homeomorfă.

Pentru un topolog, un coc și o sferă sunt la fel, la fel ca un oval și un cerc. Într-adevăr, pentru fiecare dintre aceste perechi, există o transformare care duce de la una la alta fără a modifica proprietățile profunde ale obiectului. Cu toate acestea, o sferă și o gogoașă nu sunt homeomorfe una față de alta: indiferent de modul în care transformăm sfera în sens topologic, nu putem crea gaura gogoșii fără a schimba proprietățile sferei.

Conjectura Poincaré arată că dacă într-un spațiu tridimensional închis și nemărginit (scufundat într-un spațiu cvadridimensional) toate „cercurile” bidimensionale pot fi micșorate topografic până ce devin un punct, atunci acest spațiu este echivalent din punct de vedere topologic (homeomorf) cu o hipersferă tridimensională.

Într-adevăr, în topologie, dimensiunile nu sunt înțelese la fel ca în celelalte domenii ale matematicii. O sferă, așa cum este ilustrată în mod obișnuit, se numește bidimensională și este văzută ca suprafața unei mingi văzută într-un spațiu tridimensional.

O sferă tridimensională este suprafața unei bile cu patru dimensiuni. Astfel, o sferă tridimensională într-un spațiu cu patru dimensiuni nu este ușor de imaginat pentru cineva, deoarece necesită un nivel suplimentar de abstractizare: mintea umană obișnuită cu percepția sa tridimensională, pur și simplu nu poate.

În viziunea noastră simplificată, sfera luată în considerare aici este aceeași cu sfera noastră obișnuită, iar o varietate poate fi văzută ca o formă matematică cum ar fi un coc, un cub sau o sferă. Spunem că acesta este închis dacă nu există nicio gaură pe suprafața lui sau, mai exact, că nu are limite.

Spunem că este pur și simplu conectat dacă fiecare buclă poate fi strânsă continuu până la un punct: să ne imaginăm că înfășurăm o bandă de cauciuc în jurul unei sfere, apoi ne putem imagina că se strânge și se strânge în timp ce se deplasează pe sferă, până în punctul în care devine un simplu punct.

În două dimensiuni, conjectura spune că o sferă sau un cerc sunt toate homeomorfe unei sfere, care este un rezultat de bază al topologiei. Cu toate acestea, în trei dimensiuni, acest rezultat este departe de a fi banal și a zăpăcit mințile matematicienilor timp de aproape un secol.

Deși Conjectura a fost făcută la începutul secolului al XX-lea, primele rezultate interesante au început să apară în a doua jumătate. Ca de obicei în topologie (sau în alte domenii ale matematicii), atunci când o ipoteză arată unele dificultăți care trebuie dovedite, o metodă este să încerci să o demonstrezi în alte dimensiuni.

În 1960, John Stallings, un matematician american, a publicat o dovadă pentru dimensiuni mai mari de șapte. Mai târziu, Stephen Smale, a reușit să găsească o altă modalitate de a demonstra Conjectura pentru dimensiuni mai mari de 5.

Mulți alți matematicieni au publicat dovezi, cu mai mult sau mai puțină imaginație și succes, dar niciunul nu se apropia mai mult de dimensiunea trei în acest moment. Un fapt interesant, John Stallings, a publicat în 1966 o lucrare intitulată „Cum să nu rezolvi conjectura Poincaré”, cu acest comentariu:

„Am comis păcatul de a dovedi în mod fals Conjectura lui Poincaré. Acum, în speranța de a-i descuraja pe alții să facă greșeli similare, voi descrie dovada mea greșită. Cine știe, dar că oarecum o mică schimbare, o nouă interpretare și această linie de probă poate fi rectificată!”

Lucrurile s-au mișcat încet până în anii 1980, unde au fost găsite multe piste noi. În 1982, Michael Freedman a câștigat o medalie Fields pentru dovada lui Poincaré în dimensiunea patru. Un alt topolog, William Thurston, a venit cu o altă presupunere în 1982, numită conjectura de geometrizare. Dacă această presupunere ar fi dovedită, ar urma Poincaré.

Acest lucru a declanșat un interes reînnoit pentru Poincaré și a atras atenția asupra lucrării lui Hamilton, unul dintre cei mai buni topologi americani din a doua jumătate a secolului, care a făcut o descoperire în încercarea sa de a demonstra conjectura în trei dimensiuni.

Opera sa s-a bazat pe cunoscuta noțiune de curbură, și pe faptul că o sferă avea, calitate de bază, una pozitivă și constantă. Astfel, dacă cineva ar avea o modalitate de a măsura curbura unui obiect neidentificabil și de a-l măsura în continuare în timp ce remodelezi acest obiect, atunci se poate ajunge, în cele din urmă, la punctul în care acest obiect ar avea o curbură pozitivă și constantă. Ar fi atunci, prin natura sa, o sfera, iar conjectura ar fi dovedită.

Hamilton a reușit să creeze o măsură adecvată și să studieze variațiile acesteia în timp ce remodela obiectul. Procesul de transformare a metricii se numește flux Ricci. Hamilton a reușit să demonstreze că acea curbură va rămâne pozitivă, dar a rămas blocat când a studiat variațiile acesteia: nu a putut dovedi că a rămas constantă.

Într-adevăr, la remodelarea obiectului, fluxul Ricci ar întâlni uneori o singularitate, adică o zonă a sferei care s-ar abate de la comportamentul pe care l-ar putea gestiona fluxul. Ideea lui Hamilton, refolosită ulterior de Perelman, a fost să rezolve aceste probleme manual, ceea ce înseamnă că fluxul va fi oprit, singularitatea tratată cu o funcție special adaptată și fluxul ar fi reluat.

Cu toate acestea, Hamilton nu a putut dovedi că această operație ar putea funcționa indiferent de singularitatea dezvoltată pe obiect și nici că le identificase pe toate. În plus, programul său s-a bazat pe presupunerea că acea curbură trebuie să fie uniform mărginită: o presupunere corectă poate, dar una nedovedită.

Matematicianul rus care a rezolvat vechea ecuație a refuzat prestigioasa medalie Fields

Aceste probleme teoretice i-au oprit complet progresul, dar programul dezvoltat de Hamilton s-a dovedit a fi solul fertil pe care dovada și geniul lui Perelman ar prospera.

Grigori Perelman s-a născut în 1966 la Sankt Petersburg. Având abilități excelente de matematică la vârsta de 10 ani, mama sa l-a înscris într-un club de matematică supravegheat de Serghei Rukshin, un tânăr de 19 ani, remarcabil profesor de matematică, care a excelat la predarea tinerilor genii.

Abilitățile naturale ale lui Perelman au fost intens stimulate la club și a devenit rapid evident că nu era doar talentat, ci și că avea o minte foarte sistematizatoare care putea rezolva aproape orice problemă fără măcar să scrie ceva.

Potrivit lui Rukshin, profesorul și cel mai apropiat prieten al său, el nu a manifestat niciun interes pentru nimic în afară de matematică și nu putea accepta ideea că lumea și relația umană nu erau la fel de perfect organizate și definite precum matematica.

De exemplu, el a refuzat întotdeauna să creadă că a existat un antisemitism târât în ​​aproape fiecare aspect al Rusiei sovietice, sau vreun antisemitism oriunde, deoarece nu era un comportament rațional. Oricum, capacitățile sale excepționale i-au permis să intre în echipa URSS pentru olimpiadele internaționale de matematică și să obțină un scor perfect și o medalie de aur în 1982.

Acest premiu i-a permis să fie unul dintre cei doi studenți evrei cărora li s-a permis să studieze la prestigioasa Școală de Matematică și Mecanică a Universității de Stat din Leningrad. Acolo, l-a întâlnit pe unul dintre cei mai mari matematicieni ruși ai vremii, Aleksandr Aleksandrov, care l-a introdus în geometrie și i-a coordonat teza de doctorat.

După căderea Cortinei de Fier, Perelman a întreprins o lungă călătorie la universitățile din SUA și a primit mai multe posturi de cercetare. Acolo a început să lucreze la topologie și a arătat un oarecare interes pentru fluxul Ricci.

Prima realizare științifică a lui Perelman a fost demonstrarea conjecturii Sufletului în 1993. Conjectura Sufletului a afirmat că se pot deduce proprietățile unui obiect matematic din regiuni mici ale acestor obiecte, numite suflet. Încercările anterioare au dus la lucrări lungi, foarte tehnice, care au dovedit doar părți ale conjecturii. Lucrarea lui Perelman avea doar patru pagini și i-a impresionat pe mulți matematicieni prin simplitatea ei aparentă: „șmecheria” pe care a folosit-o era în domeniul public de douăzeci de ani.

Acest prim succes în cariera lui Perelman a atras atenția celor mai prestigioase universități: Princeton și Stanford i-au oferit un post de profesor, oferte pe care le-a refuzat. În schimb, s-a întors în Rusia la Institutul Steklov din Sankt Petersburg în 1995 pentru a-și continua cercetările cu toată discreția.

Din 1995 până în noiembrie 2002, a lucrat singur la Conjectura lui Poincaré, întrerupând aproape orice contact cu comunitatea matematică. În acești șapte ani, Perelman a reușit să depășească dificultățile care au zdrobit speranțele lui Hamilton de a găsi dovada.

În primul rând, el a arătat că ipoteza potrivit căreia curbura este mărginită uniform a fost corectă, deoarece în spațiul particular al demonstrației, pur și simplu este întotdeauna cazul. În al doilea rând, el a arătat că singularitățile vor apărea întotdeauna în același caz precis, când fluxul ar crește prea rapid și a conceput o funcție care ar fi eficientă împotriva tuturor acestora.

El chiar a demonstrat că unele dintre singularitățile pe care Hamilton le identificase pur și simplu nu vor apărea niciodată. În noiembrie 2002, Perelman a postat pe Internet primul dintre cele trei preprinturi care conțineau dovada lui Poincaré. Și, în același timp, a Conjecturei de geometrizare a lui Thurston.

Perelman și-a postat preprinturile pe Internet, pe arXiv.org, o arhivă științifică pentru preprinturi, mai precis, dar nu le-a trimis, în niciun fel, spre publicare într-un jurnal științific. Era într-adevăr reticent la ideea că altcineva ar putea să-i revizuiască lucrarea, deoarece era absolut sigur de corectitudinea lor.

Un alt fapt remarcabil a fost despre articolele în sine, care nu conțineau explicații sau digresiuni în niciun fel. Perelman a spus că nu simte nevoia să explice, că dovada lui este autosuficientă. Din dovadă lipseau și unele detalii pur tehnice.

A ținut doar o rundă de conferințe în SUA despre dovezile sale și s-a retras din nou în patria sa pentru a se ascunde de mass-media, al cărei interes a apărut cu problema premiului de un milion de dolari. După cum știm, procesul de depunere la o revistă științifică are, pe lângă difuzarea rezultatelor cuiva către comunitate, și scopul verificării acestor rezultate.

Aici, o astfel de abordare a fost făcută imposibilă de Perelman, așa că unele grupuri independente de savanți s-au pus la sarcina extrem de dificilă de a înțelege, completa, verifica și explica munca lui. Unul dintre aceste grupuri, format din matematicienii chinezi Cao și Zhu, a încercat chiar să profite de lacunele din dovezi pentru a obține creditul.

Ei au susținut în articolul lor că „ această dovadă ar trebui considerată drept încoronarea teoriei Hamilton-Perelman a fluxului Ricci”. Acest lucru a stârnit o oarecare agitație în comunitate, dar oamenii de știință chinezi s-au retras imediat după aceea pentru că articolul lor fusese parțial plagiat și au acceptat să-i lase pe Perelman și Hamilton să aibă credit pentru dovada importantă din matematică.

Până în 2006, dovada a fost validată de toate aceste grupuri. Revista Science a recunoscut-o drept „Recursul anului” și a fost prima lucrare de matematică care a obținut această distincție. Atât comitetul Fields, cât și Institutul Clay au convenit să-l recompenseze pe Perelman.

Este primul și singurul care a rezolvat una dintre Problemele Mileniului și această situație s-ar putea să nu se schimbe pentru mult timp. De asemenea, este primul și singurul care a refuzat atât medalia Fields, cât și premiul Millennium. Justificarea lui evidențiază atât personalitatea sa particulară, cât și angajamentul său profund față de matematică de dragul lor:

„Nu mă interesează banii sau faima. Nu vreau să fiu expus ca un animal într-o grădină zoologică. Nu sunt un erou al matematicii. Nici măcar nu am așa succes; de aceea nu vreau ca toți să se uite la mine”.